La geometría fractal es una joven disciplina cuyo objeto de estudio puede enunciarse, de una manera un poco más formal, como el estudio de las propiedades topológicas y geométricas de conjuntos y medidas auto-similares en Rn. Aquí “auto-similar” se usa en el sentido un poco vago que ha popularizado por los trabajos de Mandelbrot, como un conjunto que es igual a sí mismo en todas las escalas, es decir, un conjunto que, después de un re-escalamiento apropiado de una vecindad pequeña de sus puntos “luce” igual a sí mismo.
La disciplina se ha popularizado a través de la difusión de imágenes y programas de computadoras que nos presentan un mundo de figuras sorprendentes que en muchos casos se aproximan al arte y a la ciencia ficción. Una búsqueda en Internet muestra un exuberante campo donde convergen los intereses de investigadores en ciencias aplicadas, matemáticos, artistas, creadores de efectos especiales para el cine y hasta publicistas.
Esta explosión de interés está vinculada a la propagación de los computadores personales y las nuevas tecnologías de la información, con un visible impacto en la imaginería de la sociedad de consumo contemporánea.
Pero no todo es moda y publicidad. Desde el punto de vista científico hay un genuino interés por caracterizar estructuras tanto físicas como de datos que necesitan ser tratadas con métodos de teoría de la medida para introducir cuantidades calculables experimentalmente que caracterizan la organización espacial de conjuntos de puntos en el espacio con apariencia caótica y desorganizada. Las ideas de la geometría fractal se han aplicado al estudio de las configuraciones espaciales “poblaciones” de “puntos” distribuidos en un volumen tales como:
población humana sobre un territorio, continente e incluso sobre la Tierra misma; observaciones meteorológicas en estaciones distribuidas de manera desigual sobre el planeta; distribución de disipación de energía en un fluido turbulento, que fue el objeto inicial de estudio que llevo a Mandelbrot a proponer el estudio de fractales como una parte esencial de nuestra comprensión actual de la naturaleza; distribución de errores en una línea de transmisión; distribución de impurezas en la superficie y núcleo de materiales conductores, superconductores y aislantes en la física del estado sólido; distribución de minerales raros sobre la superficie de la tierra tales como oro, cobre y petróleo series temporales de datos tales como precios de mercancías y valores financieros en conomía, tráfico vehicular en grandes ciudades, etc.
En todo este ejemplo hay una escala global relevante confrontada con estructuras locales muy ricas y variables.
Al proponer su visión de la geometría fractal como la geometría de la naturaleza, Mandelbrot busca en la Matemática modelos geométricos simples de conjuntos tales como: el conjunto de Cantor ternario, el tapiz de Sierpinski, la curva de Koch y la esponja de Sierpinski . El desarrollo del computador con sus enormes potencialidades gráficas atrajo de nuevo la atención de matemáticos y científicos sobre unos conjuntos cuyo estudio se remonta a los orígenes de la topología, la teoría de la medida y las investigaciones de principios del siglo XX sobre la teoría de funciones de variable compleja, debidas a Fatuo y Julia.
Desde el punto de vista técnico la geometría fractal no es una disciplina axiomática y autónoma como la geometría de Euclides. Ella se encuentra en algún lugar en la intersección de la topología, la teoría de la medida y se ramifica rápidamente hacia la teoría de sistemas dinámicos y sus aplicaciones.
En la actualidad hay numerosos libros que tratan sobre el tema desde el punto de vista de sus fundamentos matemáticos y de las aplicaciones. Recomendamos especialmente los libros de Falcones y Edgar. También la obra “Fractals”, del físico noruego Jens Feder, que ofrece una panorámica de las aplicaciones físicas, especialmente aquellas motivadas por la investigación de yacimientos petroleros (percolación, etc.).
El objeto de esta monografía que ofrecemos como parte del TForMa es más puntual y de carácter puramente matemático. Aprovechamos la oportunidad de la motivación e interés de los estudiantes sobre el tema para introducir al estudio riguroso de los aspectos topológicos y métricos de los conjuntos autosimilares. Esto nos llevó a repasar algunos resultados de topología y medida, para ofrecer demostraciones rigurosas de algunas propiedades de fractales clásicos tales como los conjuntos de Cantor, el tapiz de Sierpinski y la curva de Koch. Demostraciones que desde luego no tienen espacio en la inmensa mayoría de páginas web y literatura de divulgación sobre este tema, pero cuyo estudio luce instructivo y necesario para la formación de los estudiantes de las carreras de matemáticas.
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