La geometría es una de las ramas más antiguas de la matemática. Fue la primera en desarrollarse como un cuerpo teórico ordenado, con axiomas, teoremas, y demostraciones; este desarrollo fue imitado luego por el resto de las matemáticas. La propia geometría desarrolló sus propias ramas, y por ese motivo es difícil hablar hoy de una única geometría. Cada vez que las herramientas teóricas se demostraban insuficientes para resolver nuevos desafíos, distintos problemas prácticos motivaron el desarrollo de estas nuevas geometrías.
Por otra parte, muchas de estas ramas de la geometría fueron quedando obsoletas para las aplicaciones prácticas (aunque no como herramientas teóricas) ante el avance tecnológico. Para citar un ejemplo de gran importancia aún hoy día, pensemos en cómo determinar la ubicación de un barco en el océano. Después del descubrimiento de América este problema se transformó en el principal problema tecnológico relacionado con la navegación. Los barcos de la época eran capaces de atravesar el Atlántico, y por primera vez tenían necesidad de alejarse de la costa al navegar.
El primer obstáculo para ubicarse en mar abierto es la falta de puntos de referencia: sólo las estrellas están disponibles para intentar hacerlo. Las estrellas fueron utilizadas ya en la antigüedad, junto con argumentos de semejanza de triángulos y trigonometría, para resolver parcialmente el problema. Sin embargo, no son suficientes, también se hace necesario medir muy bien el tiempo, con mucha precisión. Los clásicos relojes de la Edad Antigua y la Edad Media (principalmente clepsidras y relojes de arena, que medían el tiempo en que tardaba en vaciarse un recipiente) no sirven en un barco debido al movimiento de las aguas; tampoco los relojes de péndulo posteriores, cuyo balanceo también se ve alterado. Por este motivo, para resolver el problema, durante los siglos XVI, XVII y XVIII se trabajó en mejorar los mapas y las cartas de navegación, los calendarios solares y lunares (para saber a qué hora debe aparecer un astro en determinado lugar, lo que permite ubicarse), y en el desarrollo de nuevos relojes.
Contenido:
Introducción
Capítulo 1: Los comienzos de la geometría
1.1. Prehistoria
1.2. Egipto y Mesopotamia
1.3. Thales
1.4. Pitágoras
1.4.1. Ángulos interiores de un polígono
1.4.2. El teorema de Pitágoras
1.4.3. Números irracionales
Capítulo 2: La geometría euclídea
2.1. Introducción
2.2. Los axiomas de la geometría euclídea
2.2.1. Independencia y consistencia
2.3. Construcciones geométricas
2.3.1. La regla y el compás
2.3.2. Construcciones básicas
2.4. Congruencia y semejanza de triángulos
2.4.1. Criterios de congruencia de triángulos
2.4.2. Criterios de semejanza de triángulos
Capítulo 3: Trigonometría
3.1. Razones trigonométricas
3.2. Unidades de medición de ángulos
3.2.1. Instrumentos de medición
3.3. Las funciones trigonométricas
3.4. Algunos resultados importantes
Capítulo 4: Aplicaciones
4.1. Congruencia
4.1.1. Simetría central
4.1.2. Otras transformaciones: rotaciones
4.2. Semejanzas
4.3. Homotecias
4.4. Ángulos inscriptos
4.5. El radio de la Tierra
Capítulo 5: Geometría esférica
5.1. Introducción
5.2. Caminar derecho sobre una esfera
5.3. Latitud y longitud
5.4. Triángulos y trigonometría sobre una esfera
5.4.1. Definición y primeras propiedades
5.4.2. Área de un triángulo esférico y suma de sus ángulos
5.4.3. Aplicación de la fórmula de Euler para los polígonos
5.5. Paralelismo sobre la esfera
5.5.1. Transporte paralelo en el plano
5.5.2. Transporte paralelo sobre la esfera
5.5.3. Holonomía
5.6. Mapas de la Tierra o cómo volver llana una esfera
5.6.1. Proyección estereográfica
5.6.2. Proyección cilíndrica
5.6.3. Proyección de Mercator
Capítulo 6: Geometría proyectiva
6.1. Introducción
6.1.1. ¿Cómo hacer para pintar en perspectiva?
6.1.2. Secciones cónicas
6.1.3. Anamorfosis
6.2. Teorema de Desargues
6.3. La geometría proyectiva
6.3.1. Proyecciones
6.3.2. Las geometrías no-euclideanas
6.4. Los axiomas de la geometría proyectiva
6.5. Coordenadas homogéneas
6.6. Habitación de AMES
Capítulo 7: Que no entre quien no sepa topología
7.1. Revelación de un amor
7.2. Débil es la geometría
7.3. Formulo, luego existo
7.4. Los cinco platónicos
7.5. Algunas actividades
Capítulo 8: Tierra, Sol, Luna
8.1. El problema
8.2. Tamaños y distancias
8.2.1. Cálculo del diámetro angular de la Luna
8.2.2. Diámetro angular del Sol
8.3. La sombra de la Tierra
8.3.1. El argumento de Aristarco
8.3.2. El argumento de Hiparco
8.4. Comentarios finales
Capítulo 9: Resolución de problemas
Capítulo 1: Los comienzos de la geometría
1.1. Prehistoria
1.2. Egipto y Mesopotamia
1.3. Thales
1.4. Pitágoras
1.4.1. Ángulos interiores de un polígono
1.4.2. El teorema de Pitágoras
1.4.3. Números irracionales
Capítulo 2: La geometría euclídea
2.1. Introducción
2.2. Los axiomas de la geometría euclídea
2.2.1. Independencia y consistencia
2.3. Construcciones geométricas
2.3.1. La regla y el compás
2.3.2. Construcciones básicas
2.4. Congruencia y semejanza de triángulos
2.4.1. Criterios de congruencia de triángulos
2.4.2. Criterios de semejanza de triángulos
Capítulo 3: Trigonometría
3.1. Razones trigonométricas
3.2. Unidades de medición de ángulos
3.2.1. Instrumentos de medición
3.3. Las funciones trigonométricas
3.4. Algunos resultados importantes
Capítulo 4: Aplicaciones
4.1. Congruencia
4.1.1. Simetría central
4.1.2. Otras transformaciones: rotaciones
4.2. Semejanzas
4.3. Homotecias
4.4. Ángulos inscriptos
4.5. El radio de la Tierra
Capítulo 5: Geometría esférica
5.1. Introducción
5.2. Caminar derecho sobre una esfera
5.3. Latitud y longitud
5.4. Triángulos y trigonometría sobre una esfera
5.4.1. Definición y primeras propiedades
5.4.2. Área de un triángulo esférico y suma de sus ángulos
5.4.3. Aplicación de la fórmula de Euler para los polígonos
5.5. Paralelismo sobre la esfera
5.5.1. Transporte paralelo en el plano
5.5.2. Transporte paralelo sobre la esfera
5.5.3. Holonomía
5.6. Mapas de la Tierra o cómo volver llana una esfera
5.6.1. Proyección estereográfica
5.6.2. Proyección cilíndrica
5.6.3. Proyección de Mercator
Capítulo 6: Geometría proyectiva
6.1. Introducción
6.1.1. ¿Cómo hacer para pintar en perspectiva?
6.1.2. Secciones cónicas
6.1.3. Anamorfosis
6.2. Teorema de Desargues
6.3. La geometría proyectiva
6.3.1. Proyecciones
6.3.2. Las geometrías no-euclideanas
6.4. Los axiomas de la geometría proyectiva
6.5. Coordenadas homogéneas
6.6. Habitación de AMES
Capítulo 7: Que no entre quien no sepa topología
7.1. Revelación de un amor
7.2. Débil es la geometría
7.3. Formulo, luego existo
7.4. Los cinco platónicos
7.5. Algunas actividades
Capítulo 8: Tierra, Sol, Luna
8.1. El problema
8.2. Tamaños y distancias
8.2.1. Cálculo del diámetro angular de la Luna
8.2.2. Diámetro angular del Sol
8.3. La sombra de la Tierra
8.3.1. El argumento de Aristarco
8.3.2. El argumento de Hiparco
8.4. Comentarios finales
Capítulo 9: Resolución de problemas
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